教师引导下的探索性教学
——杨红霞老师“任意角”一课的点评
南京市第十三中学 朱婷婷
主要教学过程：
- 复习提问：
1、角的定义；
2、角的范围：0º~360º
- 情景引入：
问题1：体操、跳水中有“转体720°”、 “翻腾两周半”这样的动作名称，720°是怎样的一个角？
问题2：工人在拧紧或拧松螺丝时，扳手转动的角度该如何表示呢?
探索：如何推广角的概念？
三、新课讲授：
1、任意角的定义
思考下面的角度如何表示？
(1)你的手表慢了５分钟，想将它校准，分针应该旋转多少度？
(2)你的手表快了2.5小时，想将它校准，分针应该旋转多少度？
思考：比较下面这几个角，都是210º的角，但是所在的位置不同。问你发现了什么？
2、象限角的定义
学生练习：判断命题正确与否，加深象限角概念的理解。
四、例题选讲：
例1.分别作出下列各角的终边，并指出它们是第几象限角？ (1)30°；(2)390°；(3)－330°.
思考：终边相同的角之间有什么联系吗？得出与α终边相同的角的集合。
例2.在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角:(1)650°；(2)－150°；(3)－990°15′
例3.写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360°~720°间的角写出来:(1)60°； (2)－21°； (3)360°14′。
五、课堂小结：
1.任意角的概念
2.象限角
3.终边与角α相同的角的集合
教学流程图：
复习旧知→创设情境→概念形成→概念表述→概念辨析→应用举例→小结
点评：
（一）关注概念的生成过程
本节课是一堂数学概念的教学课，数学概念教学历来在数学教学中处于核心地位。数学概念的形成过程是一个归纳、概括、抽象的过程。因此，概念学习过程应是一个探究的过程。不少教师把概念仅仅作为孤立的知识点加以教学，为教概念而教概念。把概念同化过程理解为“教师讲解，学生理解”，而较少地考虑如何让学生感知有关材料，以及如何充分发挥学生头脑中已有的知识经验在构建概念心理表征中的作用。
高中数学新课标提出了与时俱进地认识“双基”的基本理念，概念教学是“双基”教学的重要组成部分，所以通过数学概念的教学，使学生认识概念、理解概念、巩固概念，是数学概念教学的根本目的。通过概念课教学，力求使学生明确（1）概念的发生、发展过程以及产生背景；（2）概念中有哪些规定和限制的条件，它们与以前的什么知识有联系；（3）概念的名称、表述的语言有何特点；（4）概念有没有等价的叙述；（5）运用概念能解决哪些数学问题等。在概念教学中多花一些时间是值得的，因为只有理解掌握了概念，才能更好地帮助学生落实“双基”，更好地帮助学生认识数学，认识数学的思想和本质，进一步地发展学生的思维，提高学生的解题能力。
我们知道数学知识的扩充，是由于旧的知识无法解决新的问题或者是需要有新的概念来诠释新的问题，任意角的定义是为了更好地研究三角函数，所以本节课的内容对于整章内容的学习式至关重要的。
杨老师在设计教学中关注概念的生成过程，通过新旧知识之间的联系与拓展，以新知识不同于旧知识的两个方面形象的举例，促进学生理解概念，并以日常生活中校准手表为例子来进行概念的理解辨析，更加形象的展示了角的终边的旋转圈数和旋转方向的问题，也体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。
（二）突出问题探究过程
杨老师的这节课的设计教学目标明确，突出重点，突破难点，容量适中，是一节在教师的引导下的探索性教学课。
本节课是在学生已有的初中知识的基础上将角的概念进行扩充。回忆角的定义是本节课的第一个环节，因为初中角的概念对于学生而言，是熟悉的，所以无需在复习上花过多的时间去探究其定义的意义及两个定义的优劣。
情境引入是探究性教学的开始，也是教学成功的关键所在。好的情境引入，可以产生问题，形成探究的动力。有助于学生积极主动地建构科学知识和培养科学能力。相反，情境引入不合理，教学过程就会失去探究的色彩，学生会感到索然无味，探究教学也不会取得预期的效果。问题(1)体操、跳水中有“转体720°”、 “翻腾两周半”这样的动作名称，720°是怎样的一个角？问题(2)工人在拧紧或拧松螺丝时，扳手转动的角度该如何表示呢?这两个问题的设计从初中的动态角出发，提出了角旋转的圈数，以及旋转的方向的问题，由此引导学生探索：如何推广角的概念？经历任意角概念的形成过程，培养学生自主探究的能力，树立运动变化的观点，体会静是相对的，动是绝对的。
《普通高中数学课程标准（实验）》指出：高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使得学生理解数学概念、结论逐步生的过程，体会蕴涵在其中的思想方法。因此概念教学的设计不能只局限于对概念的记忆、模仿和接受上，要让学生经历“引出问题—形成猜想—演绎结论—应用拓展”的过程，这样不但能使学生逐步掌握概念本质,还能使学生感受到探究与合作的无限快乐，感觉到自己精神，智慧力量的增长，使学生的个性得到充分的发展。为了达到以上目的，自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等常是进行概念教学的重要方式。整节课的安排还是充分的体现了新课标的思想方法。
但同时又会有这样的思考，通过教师设计的问题，引导学生思考，在讲授新知的时候，如何能教给学生自己思考发现的方法，如何能够更好地提升学生的思维能力。我们在教学中经常会有这样的困惑，讲解的很细很详尽的知识和方法，让学生自己动手的时候，就会出现很多的问题，如何能够让学生不再是听懂，而是能够自己做对。所以在知识的生成中，我们应该关注什么？
有这样的一个设想，能否考虑把校对时间的例子放在开始的时候，让学生自己观察发现校准时间的过程中，分钟所形成的图形是角。学生在自己动手的实践过程中，感知这个几何图形角和初中定义的角的区别，类比数的扩充，将角的范围由0度到360度变化到无穷大。当然这只是一个设想，需要在教学中实践完善。每一节课的情景创设没有规定的模式，可以根据教师自身的教学功底，还有学生的实际情况，选择不同的方式和模式，以期使学生更好地掌握数学知识和方法。
（三）顺应学生的思维规律
本节课主要是三个方面的内容，三个内容的呈现形式各不相同，但是又密切相关，层层深入，整体设计体现了以学生为主的思想，问题设计层层深入，符合学生的思维规律，由浅入深。
因为角是一个几何图形，当角度大小相等的时候，由于顶点和始边的位置不同，角可以有无数多种位置。通过形象的图形展示提出问题，为了解决问题的方便能否将相同的角的位置固定，如何去做？学生根据自己的以往经验提出借助坐标，将角放入直角坐标系中。很自然地引出了象限角（和轴线角）的定义，也很自然地说明了为什么定义象限角。
（四）突出例题教学的层次性
例题选讲精选了三个例题，例1起着承上启下的作用，既是让学生通过作图进一步理解象限角的定义，又由做出的角的终边的位置关系得到终边相同的角的集合。终边相同的角的集合这是本节课的难点，学生在理解上有一定的难度。有的教师在设计时给出结论比较快，而花大部分时间应用这个结论，去做一些诸如已知角是第几象限角，求其半角的终边所在的象限；表示终边在坐标轴上的角的集合等等这些对于刚刚接触任意角概念的学生而言，处理起来有难度的题目。我个人认为，对于一些题目仓促的讲解还不如不讲，选择一些基础的题目，让学生感知数学知识和方法，也容易在解题的过程让学生体验成功的喜悦。
例2和例3主要考察学生如何正确表示终边相同的角的集合，在规定的范围内找终边相同的角，并判断角的终边所在的象限。
这节课能够紧紧围绕教学目标，使学生理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角。能在0º到360º范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角。能写出与任一已知角终边相同的角的集合。
教师的讲授能使深奥、抽象的课本知识变得具体形象、浅显易懂，对知识采取定论的形式向学生讲授，避免了认识过程中许多不必要的曲折和困难，可使学生少走不少弯路。教师讲解的过程中提出一个又一个的问题，让学生回答结果，讲解的过程中穿插一些练习。 “任意角”这节课需要回顾已有的相关概念，创设冲突引发进一步扩充概念的情景，任意角的概念是已有角的概念的扩充。
作为青年教师在语言上还需锤炼，注意元认知用语的使用。问题之间的衔接还需不断完善。问学生的问题要有切入点，不能问出的问题让学生没有办法回答，或者是不知所措。我们的课堂应该是培养学生学习的兴趣，提升学生学习能力的基地，要让学生在课堂上感受更多的成功的喜悦。如在讲解例2的时候，学生回答-150º角的终边与210º角的终边相同，-150º是第三象限角，学生已经回答正确，但是杨老师的意图可能是希望学生能够模仿黑板上第一小题的书写方式完整的说出-150º=-360º+210º，所以-150º角的终边与210º角的终边相同，-150º是第三象限角。因此杨老师对于学生的回答没有给予积极地肯定，而是质疑他的回答，让学生有些茫然不知所措。我们教师在课堂上的言语是非常重要的，在和学生对话的时候，一定要准确的把握语言，要能让学生明白他该朝什么方向去思考，去回答老师的问题。
还有在引入终边相同的角的集合时，举例和30º的角终边相同的角，学生已经知道相差360º的整数倍（通过例1），在提问一个学生的时候，只要很简单的回答就可以了，不需要不断的要求学生举例说明，这样的举例就显得没有任何意义了，学生就会进入一个误区360º的2倍，3倍，…
在精心设计一节课的时候，除了关注过程设计，还要注意一些细节的处理，如何能够衔接好，并预设学生可能会出现的问题。本着教评相长的原则，从本节课中我也获得了很多的启发和收获。