数学教育与青少年人格精神的培养

屠桂芳   江苏省南京市第十三中学  210008

 说明：原文刊于全国中文核心期刊《江苏社会科学》 

             文中个别数学符号粘贴之后无法呈现，见谅。

［摘要］分析目前数学教学中，公众数学心态及主体教学的现状，引发通过教学教育提升和培育青少年学生人格精神的必要性。在数学教学过程中，教师应通过多种方法和途径，培育学生的数学精神，促进学生的健康而全面的发展。

［关键词］ 数学素质  数学精神  课程标准  学习主体  培育途径

数学教育对于青少年学生学会用数学的思考方式去认识世界与人类社会的关系，认识科学、文化，提高提出问题、分析和解决问题的能力具有基础性的地位，在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的作用。基于社会对数学在知识、思维、创造、精绅、文化等层面的要求，我们今天重新来认识数学，缘于它有着更丰富的内涵，学生作为数学学习、体验和实践的主体，具有不可替代性，教学的一切活动及目标只有学生的主体参与、领悟和内化才能得到实现。

1.数学观察的另类风景

数学和语文是仅有的从小学开设到高中的课程，受到格外的重视。我们一方面看到数学呈现的“基础性、精确性、应用性、工具性”等让人们须臾不可或缺，另一方面客观存在的一些公众现象、心态或矛盾让我们看到数学教学呈现了“另类风景”，与数学教育的初衷大相径庭。

1.1 屡见感慨现象  坦言数学难学

作为一名数学教师，经常“有幸”见到大庭广众之下一些人直言相告“数学太难，我就是学不好数学”、“我一辈子也用不上一个函数”、“我从不考虑一些物体的几何性质”等。调侃之语当不得真，而在数学教师面前的这些话，却是毋庸置疑、坦诚而又真切的。新课程标准实施之前，我国的中学数学教材是举世公认的艰深与繁难，再经过“开发”，确实造就了一批解题“高手”，但同时也吓走了一大批 “芸芸众生”。客观地讲，“高手”们很少能站到世界科技的前沿，一部分“芸芸众生”却在心有余悸地调侃数学。

1.2 学习不得要领  引发麻木心态

学生几乎每天都在接受数学的教育和熏陶，但学习不得要领，难以掌握其本质，久而久之便会引发麻木心态。比如在“直线与圆的位置关系”的一节公开教学课上，“直线斜率是否存在”的个别化现象成了教学的“核心”，在知识系统刚刚建立之时，就把严谨性提到极端，导致一些学生“处处防止出错”，而把本课的重点“用坐标法解决平面几何问题”的“大目标”丢到一边，这是典型的“只见树木，不见森林”现象。“数学抽象、枯燥”被认为正常的事情，“害怕数学”没什么可害羞的；“学不好数学”情有可原，没什么不好意思的；“数学题解不好，照样生活”，没什么妨碍的——人们对数学的态度怎么会这样？数学该是这样的形象吗？

1.3技巧价值取向  教学方式单调

在数学教学中，有一些客观存在的“价值取向”，其一是方法、技巧、规则和演算法等价值取向的课程；其二是学习数学，而不是通过数学学习，从而导致了“去人性化”的学习；其三是教师的工作被演绎成“教数学”，而不是“教人”，导致“主体失落”，失去了教学的本义。透视这些“价值取向”，我们看到在教育考试制度的影响之下，需要学生基础知识扎实、解题能力强，接受性教学占主导地位，学习方式单调，学生无法获得对数学的良好感受，导致重逻辑推理、轻人文精神，重科学性、轻应用性，忽略了让学生体会数学、领略数学中的和谐美、进行数学交流，也较少尝试教学中的创造等，即忽视数学的人文价值乃至数学精神的追求。

1.4 频现链式现象  期待信念关注

数学作为一门内容抽象、体系严谨的科学，常常被忽略了活生生的来源与精彩应用，而呈现了“成绩差→学习数学没兴趣→学习积极性低→成绩更差”的恶性循环“链”。正如张奠宙教授所说：“从小学到大学，数学教育的重点是教学生‘做题目’，几乎不谈‘欣赏’二字。数学教育缺少了‘欣赏’环节，使得许多学生无法喜欢数学，以至厌恶数学，远离数学。”学习需要与可能间的突出矛盾，向我们数学教师提出了许多新的课题。比如数学差生形成的根本原因是什么？怎样做才能调动学生学习数学的积极性等。如何才能出现“成绩好→学习数学有兴趣→学习积极性高→成绩更好”的良性循环“链”？关键所在是每个学生都要有学习数学、学好数学的信念。

1.5 缺乏数学自信  形成心理危机

有一个学生，缺乏数学信心，在高考升入英语专业后感叹“我和数学的缘份终于到头了”。给数学造成这种尴尬的原因是什么？都是外部的、客观的吗？事实上，数学教学本身的责任不可推卸！人们体会不到数学的美感（如对称美、简洁美、奇异美等），却深受枯燥、抽象、难学、难算等困扰。深层次地分析数学教学中客观存在的一些偏差，已经在某种程度上冲击了人们的心理安全，造成了部分学生的心理危机，即使走上工作岗位也对数学“心有余悸”，形成了一定程度的社会心理现象。上述“无所谓”的态度，其实是人们不自觉的消极的心理防御机制在作用。

1.6 中西数学差异 引发融通趋势

在教育发展的大背景下，针对学生被动接受、机械记忆、简单复制，难以“独立地提出问题、解决问题”，更难以“学会数学地交流”等现状，我国数学教育工作者在正视人文差异的同时，分析、比较数学的中西教学观，注重优秀文化的吸收和融通，这对未来的数学教育具有十分重要的现实意义。如重视解题是我国数学教学的重要特点，强调对方法的熟练掌握，利于夯实基础；重视思路的探求，注重一题多解，但所解问题绝大部分是源于数学内部的常规题、形式化的题，缺少对方法中蕴涵的人类认识问题的基本思想规律的领悟，这种解题往往拘泥于具体操作技巧和方法——这是小方法。而西方的解题多是源于数学外部非常规题的问题解决，获得的是研究精神和一般科学方法——这是大方法。我国与西方数学教育的差异主要表现见下表：

对数学“冷漠”、“彷徨”的公众心态及上述的种种“另类风景”，不由得让我们滋生感叹：数学，该如何才能走近你，感受你，欣赏你，拥抱你？面对增进学生的数学理解、数学学习信念及培育数学精神的紧迫任务，我们怎样才能发挥出“不走极端而到达顶点的智慧”？

2.数学教学的非常现象

针对当前数学教学本身存在的问题，借助一些来自于公开的课堂教学观摩课和资料等相关案例呈现的“非常现象”，作一些具体案例的剖析。

2.1  细枝末节设纠缠  远离数学本质

案例1：的平方根等于多少？

说明：有的学生马上答9 ，但错了！因为=9，再计算9 的平方根，那就是 。

评析：事实上，数学中引入根号，是为了便于记录、利于计算。初中学生能知道符号表示81的算术平方根，其值等于9，作为知识教学的目的已经达到，运算能力的养成也已经实现。如果只考查计算9 的平方根，直接考查就可以了。此时追问几点：①本题考察的侧重点还是平方根吗？②纵然学生会计算所有正数的平方根，做此题也极有可能出错，这样的考题有价值吗？③练习的陷阱设的过大、过繁，对平时的教与学会带来怎样的影响？④教学的主体内容是否会被冲淡？⑤学生的心理负担是否会无限加重？

案例2：辨析题：“直线上一点把这条直线分成两条射线”正确吗？

说明：一些学生不加思索地回答“正确”；一些学生犹豫不决，心中却在想“这还有疑问？”。而给出的答案是：不正确。教师解释如下：直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这一点叫做射线的端点，因此射线必须有端点。本题中，如果把那个分割“点”放在一头，另一头就不是射线。

评析：像这样“言必称定义”，不但明显违背了教学的“适度严谨”原则，已经僵化到无视常识的程度了。按此解释，可以断言：三角形中根本就没有角！因为根据“角”是“一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形”。三角形的边都是线段，而不是射线，哪里还有角？连三角形的称呼都有了疑惑，还能说“三角形内角和等于180⁰”等定理正确吗？

像这样在细枝末节上设置障碍，随意刁难、挫伤学生积极性的现象时有所见。新课程标准明确要求避免“过分强调细枝末节的内容”，“克服‘双基异化’的倾向”是十分切中时弊的。

2.2 简单问题复杂化  学习难度骤升

案例3：“如果三角形有5个角，那么这5个角的和就是100⁰。”这句话对吗？

说明：这明显是一道怪题。所给答案是“这句话是对的”。教师解释如下：“根据《逻辑学》的规律，凡是条件错误的，不管结论如何，都认为命题是正确的。而本例中的条件错误，命题就肯定对了。不但如此，如果把题中的和改为1000⁰、10000⁰，-100⁰也都是对的。”

评析：这一解释，理由不容反驳。中学“命题与逻辑”的学习目标，是让学生在命题转换时考虑命题的等价性，并能判断常态命题的真假。比如知道原命题正确时，逆命题未必正确等，从而避免在论证的过程中偷换命题。案例3固然在《形式逻辑学》上可以解释，但是已经完全背离了中学教学的本意。

数学课程标准指出“数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理”，“全盘形式化是不可能的”。上面这种故作高深、不讲道理的做法，还是免去的好。

2.3  常识问题设迷惑课堂提问异化

案例4：一次公开课的片断：思考等于多少？

说明：课堂上一学生答：7开平方开不尽，它的值大约在2到3之间。客现地说，学生的回答中规中矩，相当明确。课堂教学接下来顺理成章是继续估计它的值是二点几，或二点几几，这正是本节课的课题“近似估计”。遗憾的是学生话音刚落，教师非但没有肯定学生的回答，反而连续追问：7开平方开不尽，为什么？是在2 到3之间？那又是为什么？什么叫“2到3之间”？请你解释清楚。

评析：“为什么7开平方开不尽？”一方面，这可视作中学生的数学常识；另一方面，这一追问干扰了学生流畅的思路，这么明显的问题也不敢想、不敢做了，心理上带来极大的不安全感，把他们引向苦闷与彷徨。思考的胆量都没有了，哪里还谈得上思维的激情。更遗憾的是，评课人对此持肯定态度：“课堂就要多问几个为什么，你问了他才会思维！”

新的课程标准肯定了合情推理，并强调“提高数学地提出、分析和解决问题”的能力，我们就要让学生发现和提出“自己的问题”。“你问了他才会思维”应当改为“他有问题了，他才会思维”，而问题相对于学生应该是适度的，有一定的思维含量和空间。由此观之，上述的“穷追猛打”式的教学方式可以休矣。

2.4 知识加深无限化  目标达成艰难

数学学科的系统性和严密性决定了数学知识间深刻的内在联系，因而在本质上抓住这些联系并学以致用，成为学习数学较困难的重要原因之一。有的教师本着“课标与教材是全国学生的基本要求”的观点，而大量补充练习题，无限延伸。曾几何时，递推数列、高阶等差、柯西不等式等在高考中出现的点滴“模型”的影子，很快成为一些中学数学课堂的大餐，导致知识无限加深，障碍设置重重，这里固然有一些考试的不良导向造成的，教师的责任也不可推卸。设定的目标高于学生的能力，或者说远高于大多数学生的能力，怎能不让学生望而生畏？而环顾左右，原来学不会的人非我一个，这样的教学就把数学置于“大家”的对立面了。于是本文开头所说的“另类风景”频现，也就不足为奇了。

立足教学现场，观察不良现象，进行辩证思考，实施有效教学。数学教育工作者的责任就是透过种种“非常现象”，深入到问题的背后，探寻深层次的原因，并摸索解决这些问题的切实有效的举措，以修正数学教学发展的方向。

3. 数学学习的精神培育

早在1989年，美国的“学校数学课程与评估标准”中就明确提出人的数学素质包括五个方面，即①懂得数学的价值；②对自己的数学能力有信心；③成为数学问题的解决者；④学会数学交流；⑤学会数学推理。在今天的信息化社会中，由于数学在现代社会作用发生了巨大的变化，社会对普通公民的数学素质提出了较高的要求，人人学习数学是时代的需要，是社会发展的需要，更是人们生存的需要。数学教学的目标是培育数学精神，让所有的学生都喜欢数学，让所有的学生学习不同的数学！

3.1数学精神的内涵

数学精神，既指人类从事数学活动中的思维方式、行为规范、价值取向、理想追求等意向性心理的集中表征，又指人类对数学的经验、知识、方法、思想、意识、观念等不断概括和内化的产物。数学精神包括科学精神与人文精神，其中科学精神主要有应用化、一般化、系统化、统一化、严密化、经济化、数学化精神等；人文精神主要有自我激励、自我完善的精神，求实探索、致力发现的精神，唯物辩证、创新进取的精神，无私奉献、团结协作的精神等。两者之间本无差异，只是取决于所关注的对象而形成不同的形态：当人类认识数学对象时，科学精神就发生了；当人类意识自身时，人文精神就发生了；而当人在反省自己时，科学精神和人文精神便融入了理智、心灵和情感交织在一起的深层背景之中，变得难以区分。数学精神是科学形态的数学精神和人文形态的数学精神相互渗透、有机融合的统一体。

数学精神的内涵十分丰富，具体表现为数学的规则，使人自觉自律；数学的探索，使人自主自强；数学的论证，使人理性思维；数学的严谨，使人思维周密；数学的美感，使人享受和谐；数学的发展，使人登高望远；数学的文化，使人滋养学识；数学的追求，使人不断进取等。比如通过“没有规矩，不成方圆。圆中有许多基本性质，我们今天开始探讨”的导入语，透射出数学规则影响到人们的行为规范。正如克莱因所说：“在最广泛的意义上说，数学是一种精神，正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活，试图回答有关人类自身存在提出的问题，尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻和最完美的内涵。”

案例5：假设我们处在一个表面极其光滑的地球上，现用一条钢带沿着赤道紧紧箍住地球。如今给这条钢带增长一米，使得钢带离开了地球，且处处同球面保持相等的距离。问随着钢带的升高，在钢带下面是否能够（Ａ）仅仅塞进一张扑克牌；（B）塞进一只手；（C）塞进一只棒球。

评析：课堂上做此多选题时，大部分学生凭直觉认为结论只能为A，可通过计算之后，着实感到惊奇。事实上，设地球半径为r,“加长一米的钢带箍”的半径为R,赤道长度为C，由C=2πr、C+1=2πR得R-r= 16厘米。过程表明钢带加长一米后，居然升高到离地球表面大约16厘米！这个高度足够让一只棒球从它下面穿过。实际上，这个球体不论是地球还是篮球，升高的高度都是大约16厘米。

数学是一门严谨的学科，是不允许想当然的。让事实说话，按数据说理，这就是数学的“真”。借此让学生真切地了解数学的价值，增进对数学学习和应用的信心，其形成的理性思维将终生受益。数学精神集中体现人类理性精神，具有显示自我的人力价值、完善自我的人格价值。理解和认识数学精神，有助于树立新的数学教育观念；弘扬和研究数学精神，将为数学教育注入新的血液、增添新的活力；致力于数学精神水平上的数学教育对于形成求真、持善、臻美的三维人格，促进学生全面素质的提升和终身持续发展具有重大作用。

3.2 培育数学精神的基本途径

如果数学课堂使学生真正感受到了思维的快乐，并且因为思维品质的优化和思维能力的提升，而使学生主体的本质力量得到体现，那么，数学的人文精神及文化张力也就真正得到了彰显。

3.2.1突出主体地位

数学学习成就的高低取决于学生主动参与数学学习活动的程度，而没有思维参与的学习活动就不存在真正意义上的学习!在数学教学中既要强调学生的思维参与，也要注重富有乐趣、成就等积极因素的情感参与。数学教学的过程是主体重建经验结构的过程，因此，教师要充分运用创设情境的策略、过程性策略、变式策略、问题策略、评价策略等多种教学手段，积极调动学生思维的参与，根据认知需求灵活引入发现与探究，以突出学生学习的主体地位，充分发挥学生学习的能动性，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到发展。

案例6：某个夏天，由于一场暴雨袭击．导致我市南郊部分地区断电，百姓的工作和生活受到严重影响，经电力抢修中心初步测试，确定是位于南郊的两个变电站之间的高压电线发生故障，维修线路的工人师傅怎样才能迅速查出故障发生的确切位置?你有没有高效的查找方案？

评析：教师引导，让学生思考、交流方案，启动二分法的自主探索，明确地突出了学习主体的地位。该案例的设计意图是把抽象的思想方法蕴含在形象的生活情境中，让学生对二分法和逼近思想有初步的感性的认识，为进一步探究作思想方法上的铺垫；教学过程中培养学生的自主探究意识，感受精确与近似的相对统一；学生在经历解决问题的过程中主动获得方法，建构新知识；案例呈现的关注国计民生问题引发学生对数学的应用价值取向将起到很好的促进作用。

3.2.2重视思维过程

数学思维能力是在师生交往、互动、共同发展的过程中形成的。而没有“过程”的教学，是把“思维的体操”降格为“刺激─反应”的训练，是教育功利化在数学教学中的集中表现。

教学表现在课堂上出现的“教育形态”与数学家在数学研究中的“原始形态”具有极大的相似性，而数学教材呈现的“学术形态”与学生理解数学知识的过程不相吻合。为此分析、了解数学家们在获得数学概念、原理时的“原始”思维过程，从中获得分析学生数学思维过程的启发，并据此设置教学情境，使教学符合学生的思维规律。比如数学家们是如何从实际需要或数学的内部发展而发现并概括数学问题的；在解决问题的过程中，有怎样的思想历程；在遇到困难时，如何寻找突破难点的方法；怎样开拓思路，打破思维的僵局；如何反思、整理思维过程，精确地表达思想方法、推理过程等。这些数学思维活动的经验，对于数学教师理解并把握学生的数学思维过程，恰当地设计教学情境，引导学生的数学思维，使学生通过主动思考获取数学知识，具有极大的启发性。

3.2.3提炼思想方法

由于数学的同一内容可以蕴涵不同的数学思想方法，而同一思想方法又常常分布在不同的知识点中，因此提炼和概括出数学思想方法的系统十分必要。由此教师应通过知识载体，对学生实施心理和智能的导引，启迪智慧、开发悟性、挖掘潜能，使学生在实践中明确知识与思想方法结合的交叉点，并得心应手地灵活运用数学思想方法，如函数与方程、数形结合、分类讨论、化归、等价变换等。

案例7：苏教版教材必修5中“2.2等差数列”一节中知识与思想方法结合点如下：

案例8：通过立体几何内容的学习，转化的思想方法可提炼总结如下：①把“高维”转化为“低维”(常通过截、展、移以降维)；②把“一般形体”转化为“特殊形体"(常通过分解或扩充以特殊化、熟悉化)；③把“几何结论”转化为“代数、三角目标”(常通过几何图形数量化及引入相应目标以代数、三角化)等。进一步明确立几中的转化思想和策略，还可通过对立几教学中的概念类比、结论类比、方法类比的小结，提炼其中的类比思想和方法等，进一步突出数学思想方法的教育，促进学生数学思想的形成和发展。

3.2.4掌握解题策略

解题策略介于具体的求解方法与抽象的解题思想之间，是思想转化为操作的桥梁，是提升数学学习信念、培育数学精神的保障措施之一，为此列出四个常用的基本策略。①辨认结构。认清题目的结构特征(包括式子和图形的结构)，做出有针对性的变形。辨认的过程就是模式识别的过程。②目标导航。从题目的条件不断向目标变形、靠拢，缩小已知与未知之间的差异，这种由未知向熟知转化的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程。③化繁为简。比如立几问题化为平几问题（降维），多元问题化为少元问题（消元），高次函数与方程的问题化为低次问题（降次），复杂的式子化为简单的式子（换元）等。追求简捷是数学思维的基本特征。④变换角度。变形方向的确定和变形方法的选择始终是解题的核心。当从某个角度解题难以入手时，换一个角度尝试一下，分析不同思路的不同方法，常常会有“柳暗花明”之感。

3.2.5开展数学活动

弗赖登塔尔强调“要将教学内容作为一种活动来分析”。数学活动作为教学的一种表达形式，内容丰富、形式多样，会给学生数学素质的提高、数学能力的培养带来更多的帮助。常见的数学活动有数学试验、数学阅读、数学家故事、数学讲座、数学擂台、数学建模、数学应用等，数学与生活、经济、文化、军事等紧密相联。从而让学生体会到数学素养是一种从事各项工作都需要的文化素养、思维素养，而绝不仅仅是“思维的体操”。

此处特别提出加强数学主题阅读，提升数学表达和数学交流的能力。阅读的过程，是感受知识的内在联系，用数学的观点、方法分析和解决问题的数学活动，是新知识的同化和顺应的过程。不断拓展学生可阅读的数学报刊、杂志及书籍等，可使数学学习成为文化欣赏的重要体验，成为数学交流的有效实践。比如读杨之先生的《数学发现的艺术》，就会发现该书“引导读者兴味昂然地走进一个个‘数学发现’的乐园，春雨润物般地感悟到‘数学’原来是这样被‘发现’的，因而这是一部可读性很强的数学启蒙教科书。”

3.2.6关注学科能力

数学教学的目的在于促进学生的发展，一是要掌握数学双基，二是形成学科能力，三是完善学科观念，四是培养个性品质，实现全面发展。在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程，从而形成学科能力。

数学素质，归根到底是指数学思维方式，能从数学角度出发进行理性思维，有寻求一般性模式、追求简洁与形式完美的思维方式和行为习惯，追求逻辑的严谨性和结论的可靠性的意识等。数学素质比较概括而“无形”,数学学科能力作为数学素质在数学活动中的外化，即不失抽象性，又具有操作性，可从①精确定量思维方式；②数学抽象概括能力；③逻辑思维能力；④几何直观能力；⑤数学语言表达能力；⑥数学应用能力；⑦反思与调节能力等七个方面来培养。

培育青少年人格，表现在数学教育中，其本质就是要培育数学精神，让学生从数学学习的困境中解脱出来，使学生从数学的内容、方法、思想去潜移默化地感受规则、责任、创新、诚信、严谨等精神，从而逐渐养成自觉、自立、自强的品行，善于思维、善于创新、追求人生价值及对美与善的崇高追求、敢于正视成功或失败的心理品质等，这对青少年学生一生的发展影响很大。正如日本数学家米山国藏所说：“对于学生们而言，作为知识的数学，通常是出校门后不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，那些深深地铭刻于头脑中的数学的精神、思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等都随时随地发生作用，让他们收益终生。”

数学是思维的科学,数学学习要学会“思考”；数学是经验的科学,数学学习要善于“积累”；数学是演绎的科学,数学学习要注重“联系”。数学研究和学习需要解题，而解题过程需要反复探索，终于在某一时刻出现顿悟，比如做一道几何题，百思不得其解，突然添了一条辅助线或看到了两个相似形，问题豁然开朗。这样的情境，正如辛弃疾的词“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。”来表达的意境。

借用张奠宙教授的一句话与大家共勉：我把学习数学比做登山，一步步地爬，很累，很苦。但是如果你能欣赏山林的风景，那么登山就是一种乐趣了。数学是丰富多彩的，让我们大家都来欣赏数学的无穷威力和迷人的魅力！

［参考文献］

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