一、《平面向量基本定理》教学意义

  向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，可以使复杂问题简单化、直观化。而平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，是搭建向量的几何运算和代数运算的桥梁。该定理说明同一平面内的任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。反映在图形中体现为：任意一个平面直线型图形都可以表示为某些向量的线性组合。这样，在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示成向量的形式，然后通过向量的运算，达到解决问题的目的。

二、教学设计

（一）教学目标：

  本课我所确立的教学目标是：了解平面向量的基本定理及其意义；通过定理用两个不共线的向量来表示另一个向量或将一个向量分解为两个向量；能用平面向量基本定理处理简单几何问题。并培养学生观察、分析、总结的能力。

（二）教学设计及流程

1. 复习回顾

①. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？

②. 怎样理解向量的数乘运算λa？

③. 平面向量共线定理是什么？

  [设计意图]让学生思考并回答这三个问题，为这节课的内容做准备。

2. 学生活动

①. 如何理解向量共线定理？

生：平面内所有与非零向量a共线的向量都可以由向量a来线性表示。

②. 能不能用一个非零向量来表示平面内所有向量？

生：不能，因为一个非零向量只能表示平面内与之共线的向量。

③. 既然一个向量不行，那两个行不行？假设这两个向量为e1，e2，那么e1，e2有没有约束条件？

生：向量e1，e2应该不共线，如果共线的话，由向量共线定理，情况就跟一个非零向量情况一样。

师：那么平面内任一向量a可以由这两个不共线的向量表示吗？这就是这节课要探讨的问题。

  [设计意图] 引出了本节课需要探讨的问题：平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示？

3. 建构数学

问题1：在下列两图中，向量e1，e2， a不共线，能否用向量e1，e2来表示向量a？

  [设计意图] 让学生通过自己动手作图，并上黑板演示。有了前面向量的加法的基础，学生比较容易想到用平行四边形法则，找到向量。

问题2：在上图中，向量分别与e1，e2的关系如何？从而向量a与e1，e2的关系如何？

[设计意图] 利用向量共线定理，学生比较容易得到λ1e1 ，λ2e2，进而得到a=λ1e1＋λ2e2。让学生自己探索，得出的结论印象深刻。

师：上面谈论的向量a是否具有一般性能代表平面内所有的向量呢？

生：零向量没有讨论。

师：还有吗？

生：还有向量a与向量e1，e2共线的向量没有讨论。

问题3：若向量a与e1或e2共线，a还能用λ1e1＋λ2e2表示吗？

问题4：根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？

师生共同的出平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1， λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

问题5：上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？

[设计意图] 加深对基底的理解。

师：什么样的向量可以作为平面内所有向量的一组基底？判断两个向量是否可以作为基底实质就是判断什么？

教师强调只有平面内不共线的两个向量才可以作为平面内所有向量的一组基底，基底选定以后，向量a确定以后，λ1， λ 2就唯一确定了。

师：一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a的分解。当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解.

问题6：平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？

生：由平面向量共线定理可知，任意一个向量可以用一个与它共线的非零向量来线性表示，而且这种表示是唯一的；由平面向量基本定理可知，平面内任意一个向量都可以由两个不共线的向量来线性表示。可以认为平面向量基本定理是向量共线定理的推广。

[设计意图] 加深对向量共线定理和平面向量基本定理的理解。

4. 数学运用

5. 回顾小结

  通过这节课的学习，你有哪些收获？

三、教学反思

（一）对于“新课引入”环节的反思

  起初设计的是复习向量的加法、减法法则和数乘运算，并给定平面内任意两个向量e1，e2，让学生作出3e1＋2e2和e1－2e2，然后给出：光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？最后再提出：平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？

  让学生作出3e1＋2e2和e1－2e2，不是本节课的重点，在这里没有必要，学生掌握的还可以，浪费时间。新的设计通过复习向量的加法、减法法则和数乘运算让学生回忆旧知并为新知识做好铺垫，根据向量共线定理，提出问题：能不能用一个非零向量来表示平面内所有向量？进而提出本节课的中心问题：平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？好处是让学生能够很容易的进入到本节课的学习状态中来，知道这节课要做什么。

（二）对于“新课”环节的反思

1. 在向学生展示问题1后，让学生上黑板作图展示结果的时候，学生作图耗时较多，原因是我没有事先在黑板上画出向量e1，e2， a，都是学生自己画的；学生画完图之后，虽然做了点评，但是我没有强调先平移向量至共点位置，因为我给出的向量e1，e2， a本身就是共点的。

2. 让学生完整地描述这个定理的内容时学生描述不够完整准确时，我没有让其他同学继续完善，而是引导他得出了定理的内容。

3. 定理中λ1， λ 2的唯一性只是从形的角度给学生直观的感受，没有进行证明，本来想留作思考题，最后也没有留。因为之前平面向量共线定理中λ的唯一性在课堂上已经证明过，所以学有余力的学生可能会想到怎么证明。

4. 课件文字图形太多，不够简洁，板书设计不够合理。

  这节课虽然有很多的不足，但我个人觉得我的教学思路还是比较清晰的，该讲的内容基本上都讲到了，每个环节也都是精心设计的。对于教学中的不足，不断的改进是我努力的方向。