面向教学的学科知识之课程资源开发

—以数学学科为例

徐章韬   顾泠沅

摘要：借鉴设计研究的思想，探讨师范生面向教学的数学知识（MKT）的发展机制是本文的主旨。文章讨论了以历史素材为原材料，开发MKT课程资源的原则和路径，以用之于课堂教学，营造真实的学习情境，促进学生的学习，在这个不断循环的迭代过程中如何促进面向教学的数学知识发展。

关键词：设计研究；数学史；面向教学的数学知识

徐章韬／华中师范大学数学与统计学学院（武汉430079）

顾泠沅／上海教育科学研究院（上海200032） 课程与教学

一、寻找有效的方式发展面向教学的学科知识之缘起

吃透学科知识的实质，发展教育教学上的见解，首要的是发展面向教学的学科知识。从知识的内在结构和功能上看，符号表征的传递、逻辑形式的教学、知识意义的生成，应该是知识教学价值的三个重要维度。惟有从结构上把握知识的内在构成，方能实现知识教学的丰富价值。学科教学是学校教育中最重要最不可替代的目的之一。我们已经指出，教学上的见解不一定外在于知识之外，在吃透学科知识的基础上也能产生教育教学上的见解。以数学学科为例，就是要在吃透数学知识的基础上发展面向教学的数学知识（ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＫｎｏｗｌｅｄｇｅｆｏｒＴｅａｃｈｉｎｇ，简称ＭＫＴ）。教好数学的前提是教师自己先学好数学，对数学内容所反映的思想、精神有深入地体会和理解，善于抓住数学的核心概念和思想方法，能揭示数学知识中所蕴含的科学方法和理性思维过程。捕捉、挖掘数学知识中蕴含的价值观资源，并用与学生身心发展相适应的方式表述，使知识教学与价值观影响有机整合，使数学知识对学生发展产生重要的影响；能打开凝结在其中的数学思维活动，并有好的载体（如教学情境、典型样例、变式训练等）来展开这些思维活动。要做到这些，就要求教师能在深刻理解学科知识的基础上产生教育教学上的见解，并能把这些见解“教学工程化”。师范生面向教学的数学知识实然水平并不高，反映了他们对数学知识的理解还没达到“授人以渔”的高度，需要寻找有效的方式发展面向教学的数学知识。

此外，不仅要进行因果关系的研究，还要进行机制性研究。马克思说过：“哲学家们只是以不同的方式解释世界，而问题在于改变世界”。师范生如何发展ＭＫＴ，其学习机制如何？是采取实验研究的方式寻找因果效应，解决“是否Ｘ造成Ｙ”这样的问题；还是采取设计研究的方式，在不断迭代式的设计与研究中探寻“Ｘ造成Ｙ”的机制和过程？基于实验室的学习理论之精髓在于控制，把情境当作无关变量忽略；然而由于课堂教学的芜杂性，由控制变量和假设检验得到的一些结论往往不能解释复杂的人类学习机制。设计研究的本质是一种面向未来的革新行动，通过“设计”改变学习环境，并藉此理解在其中发生的学习。设计研究的焦点不在于控制变量和检验假设，而是着重描述情境的复杂性，通过基于证据的评价不断修正先前的理论或推测。一般流程是：关注一个实践境脉中的问题———通过广博地考察界定问题———在现有的学习理论基础上建立推测或设计原型———形成干预系统设计———实施／评价与迭代精致，最后发表产出，促进持续革新。基于设计研究的思想，走出实验室，开发教学资源、产品来营造真实的学习情境脉络，关注学习者在情境脉络中的学习，并由此探讨师范生ＭＫＴ的发展机制。基于此，拓展开去，探讨面向教学的学科知识发展路径，丰富教育教学理论。

二、ＭＫＴ课程资源开发

同时聚焦学习活动与教学设计活动的设计研究，内在地要求开发具有学科特点的课程资源，为营造有效学习环境作好准备。即使在自然科学领域，科学理论并不能直接转化为实践行为，要经历科学理论、技术理论、工程学理论到操作技术的流程。同样的，在教学领域，学习理论、教学理论并不能直接转化为学科教学实践，还要针对学科发展一些更具有“工程”性质的理论和技法。虽然Ｃｌａｒｋ认为教育取向的数学 史有助于教师的ＭＫＴ发展， 这种理念也得到了很多学者的认同，但在实践层面，数学史如何有助于教师ＭＫＴ的发展却是一个亟待研究的课题。下面试从课程资源开发的原则和流程对此展开相应的分析：

１．课程资源开发的原则

根据ＭＫＴ的分析框架，基于数学史的教学资源开发应有助于ＭＫＴ各个子成份的发展。有研究者提出了开发课程资源的四条原则性建议，即价值确立，内容选择，形态转化，过后反思。有鉴于此，可以确立开发课程资源、发展教师ＭＫＴ的一些原则。

在开发课程资源时，要充分揭示在历史变迁中，由于研究视角的变迁而引发的某一学科、某一学习主题的根本性变化，要有助于教师从宏观上把握学科性质、学习主题的本质特征，要有助于教师从整体上发展课程的评鉴能力。例如，人教版教科书在一元二次方程的引入及求解时，都是以与面积有关的实际问题作为背景材料的。如何理解教材的编写意图，把握这一主题的实质？如果仅仅是理解为以实际问题为背景材料创设问题情境，激发学生的学习兴趣及增强学生的数学应用意识，未免失之宽泛，同时也是对情境认知理论的误读。研读一下历史就清楚了。在数学发展的早期，几何先于代数发展起来，人们习惯于从几何的角度思考代数问题。公元９世纪，花拉子米用几何方法解一元二次方程，给出了一元二次方程的两种几何解释。其要点是把未知数的平方视 为正方形的面积，未知数与常数的乘积视为两个矩形的面积之和，然后以这三个图形为基础，补形成正方形，从而得到原方程的解。补形成正方形是从几何的角度说的，从代数的角度而言，配方的目的就是为了达到补形的效果。有了这样的背景知识之后，对教科书的选材及立意就看得很清楚了。这种深刻理解将对教学产生深远的影响，教师既可以让学生把形如十字形的矩形补形成正方形，为配方法的导入打下形象化的基础，使抽象的代数方法栖居在形象之上；又能让学生体会到代数方法的优越性所在：面积法太“实”了，不能解决所有一元二次方程的求解问题，代数方法能化实为虚，用代数方法研究几何问题是必然的历史选择。这样，用方程研究曲线、用矩阵研究变换、用群论研究对称问题的思想显然是一脉相承的。教学究竟教给学生什么？应该是教给学生一些认识上的基本视角，这是教学的价值所在。而认可这样的价值观，又能切实提高学生的素养（包括应试的素养），无疑要求教师有较高的课程评鉴水平。又如，两角和与差的余弦公式是所有三角变换的基础，有的教科书是用向量法处理的，这与传统教材的处理法大不一样，究竟哪种编写方式更好、更符合学生的认知？向量法其实是说这两个公式可描述圆上任意角的旋转变换。单位圆上的点可以看作由定点按两种方式旋转而成；还可以看作是线性变换的结果，弄得更加形式化。新数学运动有失败的经验，现代的、形式化的东西在数学科学性方面的确很先进，但并不一定适合学生。作为教育，一方面要让学生领会数学思想的原初发生发展过程，另一方面又要引导学生能从各个方面欣赏已经得到的数学结果，提高认识能力。两角和（或差）的正弦、余弦公式既反映了三角的重要发展，又揭示了三角变换的深刻本质，但是否要用本质、深刻的东西取代本原的思想，对教师的教学观念，课程评鉴能力提出了新的高要求。

在开发课程资源时，要充分揭示知识形成过程中遇到的困难、障碍，以及思考这些困难和障碍可能对当下学生所造成的学习困难，并能提出具体的应对之策。例如，弧度制显然是一个难点，学生的学习困难何在，教师所能预见的学生的学习困难又有哪些？学生显然不能领悟到引进弧度制之后带来的诸多好处，教师若以此诸多好处作为引入弧度制的必要性，无异于强行向学生头脑中灌输知识；由于没有感性知识， 学生不一定会打心眼里认同这些好处。仅仅是点缀式地介绍欧拉与弧度制的关系显然不能为教学所用。因此，为了准确地预测学生的学习困难所在，在开发教学资源时，就要细述弧度制的发展历史，特别是对其中观念的变化及变化的原因能给出深刻的分析。概念无非是认识世界的一种框架，深入把握概念，就要把握概念的立足点。通过历史文化分析，知道弧度制、角度制的精髓在于如何度量圆周以及用什么度量圆周。有了这样的认知图式后，就能牢牢把握教学的主线：如何引导学生学会度量以及度量方式优劣的甄别。值得一提的是，分形的几何发明也是缘起于如何有效地度量英国海岸线的长度，和弧度制概念内蕴的思想有异曲同工之妙。这样的教学，远离了作为结果的知识教学的藩篱。又如，在平方和（或差）公式的教学中，学生不易看到两者之间的内在联系。原因在于，表示数的字母其具体意义的历史演进过程是：首先是一种记数符号，然后是表示未知数的符号，最后发展成表示一类量的符号。人类形成字母表示量的思想跨越了两千多年，要想学生在一堂课上就能实现认识的变化，的确有难度，需要想办法突破难点。数与其相反数其实别无二致，但要让学生体会到这一点，就要针对这一具体的困难采取针对性的措施。如用超级画板制作赵爽弦图，在一幅图的连续变化中同时得到上述两个公式，让学生在动态变化中体会到代数的精髓，从而跨越式地突破难点。

在开发课程资源时，要充分揭示知识产生的实际背景，看到驱动知识产生的本原性问题，从而提高选择经验、编织课程的能力。以三角为例，三角学在17世纪以前主要来自天文学和测量的几何问题，有了牛顿力学以后，推动研究三角函数主要是力学问题。如果看不到三角函数与几何、波动、振动的内在关系，或者换言之，不能从上述角度处理三角函数的有关问题，教师横向地处理教材的能力就不会很强，就不会主动地沟通数学各分支及与物理的内在联系，就不会纵横捭阖，使学生思绪万千，浮想联翩，学生的联想、类比等非逻辑思维就失去了很好的发展机会。如，看不到三角脱胎于几何，就不会主动地为三角公式配置可视化的几何图形，对各种参考资料上三角公式的几何做法，就会因嫌弃几何之法落后而把其精神实质给抛弃了。又如，物理也研究匀速圆周运动，也研究波动、振动，可我们的教师却从未或很少思考它们与三角函数究竟有何关联。理科综合考试，其实是学科间的简单拼盘，这并不符合科学演化的基本事实。数学与物理的关系历来紧密，许多数学家同时也是物理学家，如阿基米德，其实是用物理的方法做数学研究。如果沟通数理之间的联系，从方法论的角度而言，是为数学研究平添了一种研究工具，这样做大有裨益。如，几何中的点本来是没有大小的，但是，若把其视为质点，就可以发展一套质 点几何学的方法来。按课程内容的横向组织原则，就要求打破学科的界限和传统知识体系，然而，这种课程内容的横向组织实施起来有一定的困难，因为这需要教师精通或熟悉各门学科的内容。在开发课程资源时，就要有意识地沟通各门学科之间的内在联系，提高教师组织横向课程的能力。

在开发课程资源时，要揭示课程资源对丰富和发展教师学科教学知识的意义。学科教学知识是特定主题教学策略和表征的知识。有效的教学不仅需要教师对自己所教的学科有深入的理解，而且需要教师在面对特定的学科主题时，能以学生容易理解的最佳方式表达出来，即以适合学生思维与学习特点的方式重新表达学科知识。真正的学科教学知识是教师个人独一无二的教学经验，能否吃透教学材料，面对不同的学生采取不同的教学法是关键。对开发出来的课程资源，要揭示其教学法上的意义、对学生发展的意义，把教学法与具体内容有机地融合起来。如，在开发有关《两角和与差的余弦公式》时，如果是采用线段相加的几何法处理，就要揭示这种方法之于学生形象思维能力发展的作用；如果采用向量法处理，就要揭示观念变更，采用高观点处理传统问题之于学生发展的意义所在。每一种教学方法都有存在的合理价值，每一种处理方法也都有其独到之处，在开发课程资源时，就要阐明教学内容的处理法和教学内容的表达法之间的内在一致性。

２．课程资源开发的流程

虽然有人认为“知识是一种证实了的信念”，Ｐｅｒｋｉｎｓ特别地提到一个有争议的隐喻：知识是一种设计，知识是一种工具，能为某种目的而设计和改造，把知识看成一种设计就是把知识看成人工制作 和使用的工具，而不是人们的发现或发明。由于教学、课堂的复杂性，Ｐｅｒｋｉｎｓ表明实践者不得不学会通过设计的视角才能看得明白、才能有所发明。“知识作为设计”揭示和描述知识是如何实施和在实践中实例化的以及行为如何影响知识自身性质的。要深切理解数学史之于发展教师ＭＫＴ的功用，可通过设计这种工程化的方式发展教师对学科知识的理解，从而发展面向教学的数学知识。

首先，要做好前期的课程内容深度挖掘工作。布鲁纳认为课程内容要向学生呈现学科的基本概念和基本原理，然后不断在更高层次上重复它们，直到学生全面掌握该门学科为止。历史的演变能帮助我们认识数学观念上的关键转折点，这为我们有层次地在不同学段有选择地安排不同内容提供了重要的参考。数学历史文化中蕴含着丰富的课程资源，有待挖掘。教科书运用数学史料的方式有点缀式、附加式、复制式、顺应式和重构式等五种方式。教材编写打破了“一纲一本”的局面，出现了“一纲多本”的格局。实现同一教学目标的教学内容可以有多种选择，于是就有一个优化的问题。科学给人以知识，历史给人以智慧。数学讨论的许多抽象概念，最难掌握的是研究动机，也就是引入这些概念究竟是干什么的，而通过历史可以看到其来龙去脉。了解历史现象学有助于深刻理解课程标准和更好地选择服务于课程标准的教学材料。只有懂得历史文化，才能懂得数学。虽然《高中数学新课程标准（实验）》指出“数学课程应适当反映数学的历史”，要寻求数学发生、发展的历史轨迹，适度重建或还原历史过程，经历数学发生、发展的过程，但是作为课程标准下位材料的教材还没有达到重构式运用数学史料的水平。相较之下，美国天才教育教材在这方面就做得好一些，在其教材中，融入了大量数学历史文化的素材。其实，知识的历史发展顺序符合学习心理的序进原则，符合个体的认知顺序，微观认知论是宏观认识论的具体而微。按照历史发展顺序编写教材能实现科学知识的序和学习心理的序的有机统一。教材编写者也慢慢意识到历史对教材编写的重要性。如人教Ａ版“用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数”代替过去的“终边定义法”，符合三角函数的发展历史。可见，数学史是一座宝藏，不论时代如何变迁，从事研究和数学教育的人们总是可以并且也有必要从中汲取有益的思想养分。既考虑数学内在的逻辑力量，又考虑数学历史发展的文化力量，将有助于学习者清楚知识的形成过程和最终的形成结果，获得知识演进的完整图式。

其次，要开发大量基于数学史的教学设计案例，并在课程教学中实践、接受检验，然后修正。基于这些工作，开发课程资源的流程大致要经历以下步骤：（１）教师要了解所教主题的历史，能把关于某一主题的历史现象学充分揭示出来。如平均数、中位数的历史是怎样的，平方差的历史是怎样的，教师对此要有清晰的了解。由于历史叙事方式通常是宏大的，关于这些具体主题的历史知识，常常是零散的，需要收集、整理有关史料。（２）从不同角度揭示、剖析某一主题的教育教学价值。如为了加深对某一主题实质的认识，可以考察这一主题历史变迁的主要动力及认识视角的变迁；为了解学生的认知障碍，可以把关注点放在这一主题在发展过程遭遇到的重大困难和挫折上，以及数学家们的各种观点，并考察其合理因素和错误所在。如为发展课程的知识，可以着重考察产生这一主题的各种来源及其内在关系，故可以开辟“视角变迁”、“困难挫折”、“背景来源”等栏目揭示、剖析某一主题的教育教学价值。这一环节至关重要，每一个栏目都有大文章可作。（３）基于历史文化设计教学。这一过程大致可分为以下步骤：依据课程标准，在现代情境下，重构推动进化的关键思想或问题，使之在教学上适合介绍新的概念、方法或理论；上述重构的步骤按从易到难的系列问题给出，后面的问题建基于前面问题之上，采取有序的问题驱动模式，使问题的发生序列大致反映主题的历史发展进程。（４）用之于课堂实践。教师是研究者，可以用行动研究检验自己的成果是否符合课程理念的要求、学生的实际、选拔考试的实际。（５）反馈修正。听取各方面的意见，不断修正、不断实践，臻于完美。

课程资源的积累之于学科的发展具有重大意义。我们的设想是建立一个基于云计算的课程资源库，所有入库的资源都必须符合统一的标准，如有翔实的、多角度文本分析资料，最好能有视频资源，等等。资源库的建设将为教师以课例的方式进行研修提供便捷的、充足的智力资源，为大规模教研活动的有效运行提供可行性保障。

三、进一步的思考

施瓦布批判了理论话语在面对实践问题解决时的无力表现：一是涵盖的范围狭小，每一理论都只关注一个不同的侧面， 虽然有许许多多的理论，但大多数因为人为的区分而相互隔离，缺乏关联性。二是抽象的缺陷，每一理论都涵盖和阐述了它所包含事件的规律性，而没有考虑它所包含事件的具体实例之特征：非一致性和特殊性。三是极端多元化，这不仅导致理论之间的彼此对抗，更直接的后果是任一现存理论对实际的表征都是苍白的和不完整的。在教师应该如何发展教学知识这一主题上，也是众说纷纭、百家争鸣，但这些学说都有一个共同点，就是或多或少地无视教师的实践性智慧。教学研究、教师发展研究，不应只是寻找“应该如何”这样的客观规律，而应对教师的所作所为给出合理的解释。为此，就应该丰富教师的教学实践，让教师把“听懂了的做出来、说出来”，从而自下而上地归结理论。教学研究唯有扎根实践才有鲜活的生命力。

基于此，我们认为基于设计研究思想的工程化路径是发展教师教学知识的务实路径。在这个过程中，面对课堂教学的实际，教师要充分考量课程标准的理念与现实选拔考试间的平衡，手段与目标、内容的匹配，学情与教师自身特长的协调，唯有通过实践才能知道自己长于哪些方面、短于哪些方面，才会有针对性地采取应对措施自我发展，所谓“教书三年教自身”。教师不喜欢纯粹的理论说教，理论毕竟有点理想化，带点极端色彩，而案例学习、课例学习是符合教师学习特点的，因为案例、课例像一块试金石， 把教师“信奉的”和“使用的”理论区别开来。在用数学史发展ＭＫＴ的实践中，涉及到的因子较多，又加之数学史的应用历来是“高评价，低应用”，更需要教师在实践中创造性应用，并思考其中的关键性事件。如张景中院士指出：不应局限于历史，应着眼思考与创新。如关于圆的切线，有哪些性质是历史上没有想到的？在切点附近，切线比任意割线更接近圆。这很直观，也很显然，但历史上的大数学家都没有注意，这是切线的本质。这样，跳出极限思想的圈子，从全新的角度考虑微积分，是认知框架的更新，对学生思维的触动会更大。这种认识论角度对教学很有启发意义。又如陈省身先生曾指出，说三角形的内角和为一百八十度是不对的。为什么不对？不是结论错了，是看问题的方式错了，三角形的外角和为三百六十度，这是个不变量，不仅对三角形，对任意凸多边形也成立，甚至当三角形退化为一个点后，所有的外角就聚到一点，它们组成一个周角。如此，如果教师在使用史料时，又能超越历史，阐发教育教学上的见解，并能用之于教学实践，就真的“站在巨人的肩膀”上，教师的专业也就获得了发展。

本文系２０１２年湖北省本科高校“专业综合改革试点”项目数学与应用数学（师范）专业综合改革；２０１３年湖北省教学改革项目“师范生拔尖创新型人才培养的理论与实践”的部分成果。