启迪学生数学思维，营造课堂数学文化

           ———“数列的概念”教学设计与研究

    数学是探索自然现象、社会现象规律的工具和语言，数学又是一种文化素养，需要平时的点滴积淀与熏陶。前苏联著名数学教育家A．A．斯托利亚尔曾说过：“数学这个术语可以表示一种思维活动，或者表示这种活动的结果——理论。”本节课的教学内容“数列的概念”为数列的起始课，属于概念教学，看似简单而机械，但其间却蕴含了重要的数学思想和极大的数学价值，笔者尝试在本节课中，通过营造课堂数学文化氛围，使学生通过思维活动形成理论结果，将理论融入思维。

一．教学整体思路及重难点把握：

本节课的教学内容基本可分为三部分，一是数列概念的建构，二是数列的表示方法，三是数列与函数的关系。

其中，数列的概念及其表示方法为本节课的重点，数列与函数关系的理解则为难点。三部分内容看似零散而琐碎，教师若只是着眼于将其“陈列”于学生面前，那便是抛弃这节课的精华与灵魂。

数学从微观上看是一种思维活动，数学教育是思维的教育；从宏观上看，又是一种文化，一种观念系统，数学教育是数学文化的教育。

笔者用一条主线将三个教学内容按逻辑顺序串联起来：用数学的眼光来看世界→用数学的语言来描述世界→用数学的思想方法来研究世界。

这条主线既是我们这节课的教学顺序，推动了学生思维的递进，又渗透着数学文化，从本质上来说也是我们“学数学”和“用数学”的基本环节。

二．课堂教学的层次结构及设计思路：

为了发展学生的数学思维、营造数学文化，新教材更加强调数学概念形成的背景；重视介绍数学知识发生发展的来龙去脉；注重帮助学生学会运用数学语言去描述周围世界出现的数学现象；注重帮助学生体验数学在解决实际问题中的作用，拓展学生的视野，从而体会数学的应用价值。

我们更希望学生能在解决实际问题中，感悟数学的作用，体验数学与日常生活及其他学科的联系，逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。

基于上述原因及目的，在本节课的课堂教学上，笔者采用了三个递进的层次结构逐步展开教学活动：

一、通过“用数学的眼光来看世界”引导学生进行从特殊到一般的数列概念生成，培养学生的数学意识；

二、通过“用数学的语言来描述世界”引导学生从“数”与“形”两个方面描述数列，表示出所要研究的数学对象。

三、通过“用数学的思想方法来研究世界”引导学生联系已有知识储备“函数”，研究二者关系，为今后的研究作好铺垫。

三．教学过程探究：

（一）用数学的眼光来看世界

本节课是数列的起始课，对于数列的概念我们希望学生能自主的建构，但如何建构？

我国著名的数学教育家张孝达先生曾经说过这样一句话：祝愿我们数学教育工作者做出无愧于时代的贡献，给我们所有的学生一双能用数学视角观察世界的眼睛，一个能用数学思维思考世界的头脑，一副为谋国家富强人民幸福的心肠。

“一百个人的眼中，就有一百个哈姆雷特”，我们作为数学教育者有责任培养学生从现实世界中寻找“数学”的眼光与能力。

笔者在本节课一开始设计了一个小游戏，当起立、师生问好之后，先请2号同学坐下，接着请4号、6号、8号同学坐下，请问：接下来应该是哪位同学坐了呢？第10次又该哪位同学坐下呢？

接下来再给出细胞分裂个数问题、树木枝干数问题和历届奥运会我国获得的金牌数问题，当教师引导学生用数学的眼光去看待他们，从数学的角度去寻找他们的共性时，数列的概念也就自然流淌出来了。

这些例子还蕴含了数列的多种类型，也为后面学生对数列进行分类埋下了伏笔。

（二）用数学的语言来描述世界

数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。数学语言和音乐一样，是世界通用的语言，当我们发现了生活中的“数学”之后，便想着该怎样用数学语言来描述它呢？

问题一：请同学用数学语言描述之前给出的四个例子.

引导学生寻找其在量上的规律，即挖掘出其对于数学本质的体现。

其中“起立问题”和“细胞分裂问题”都可以用通项公式来描述，由此可给出数列通项公式的概念；“树木枝干数问题”可用递推式法描述；“我国在历届奥运会夺得金牌数问题”可用列表法描述。此三种对数列的描述方法也是我们今后研究数列常用的几种描述方法。

此环节有承上启下的作用，也为后序更好的研究数列奠定了基础。

例 已知数列{a_n}的通项公式，请写出它们的前5项，并作出它们的图象。

（1）a_n=2n-1；   （2）a_n=2^n-1_。

对于此例题，多数学生会把（1）的图像作成一条直线，而把（2）的图像作的形如指数函数。通过师生互动式的探究与纠错可以实现如下四个教学目的：

1、引导学生完成了从“数”与“形”两个角度对数列的描述；

2、利用学生对特殊“形”的直观感受，将问题设在学生的最近发展区，并以此为生长点，让学生从直观上初步建构数列与函数的一般关系；

3、为学生从“数”上理论验证与完善其与函数的关系，进行概念深化做好铺垫；

4、为后序引导学生“用数学的方法研究世界”做好理论准备。

（三）用数学的思想方法来研究世界

此环节在前面讨论的基础之上，是一个理论深化的过程，用数学的方法来研究世界是一个无穷无尽的过程，对于数列问题的研究而言，这只是一个开始。

问题二：数列是函数吗?

利用图示，引导学生从对应的角度分析、解决此问题：

每一个序号           1        2     3   ……   n

    唯一

数列的项             a₁       a₂     a₃   ……  a_n

问题三：作为函数，它的对应关系与定义域又分别是什么呢?

引导学生继续从对应的角度进行分析：

a_n= f (n)     n∈N*(或n∈{1,2, …k})

y = f (x)     n∈U

通过例题及上述两个问题的探究，学生可以得出这样一个结论：数列也是函数，而且是一个离散的函数。

其实，人们在真正学懂数学的过程中，除了经常用到逻辑思维以外，重要的还有从具体现象到数学的一般抽象，以及将一般结论应用到具体情况的演绎过程。既然数列也是函数，那许多研究函数的方法是否也可应用到数列问题的研究上呢？

我们可以在课后留给学生一些问题，比如：请用数学的眼光看世界，能发现哪些特殊的数列呢?我们又可以如何研究它们呢?

四．教学反思：

本节课的教学内容若从应对考试或贴合考点的角度来说，可能只需寥寥数语，但若因此忽视本节课的教学设计，对学生而言无疑是巨大的损失。《数学课程标准》中提到：数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学是人类的一种文化，数学教学不只是教知识技能、教技巧，还要教数学思考、教思想，努力去体现数学的价值，培养能力，培育意识、观念，使学生形成良好的品质。

因此，我们的数学课堂教学更应关注数学思想对学生的熏陶以及学生数学素养的提高，只有掌握了数学的思想方法和精神实质，才能演绎出千变万化的生动结论，显示出无穷无尽的威力。