启迪数学思维，渗透数学文化

——《归纳推理》教学设计与研究

数学作为一种文化现象，早已是人们的常识.何为数学文化？狭义上讲就是数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展；广义上讲，除上述内涵以外，还包含数学家，数学史，数学美，数学教育.数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等.

本节课的教学内容“归纳推理”为《推理与证明》的起始课，属于概念教学.教学内容对学生而言并不陌生，他们从小就会运用归纳推理进行探索.因此，本节课的核心是引导学生，用数学的眼光，从理性上认识归纳推理.笔者尝试在本节课中，通过情景创设，在追溯数学历史的过程中，在学生课堂活动中，渗透数学文化.

    一、教学整体思路及重难点把握

本节课的重、难点是突出概念形成的过程，让学生真正参与知识的建构，在对案例抽象概括的过程中，总结出归纳推理的一般思维模式.为此，笔者以一根“主线”牵引，串联起本节课的教学内容，即：生活中存在推理→什么是推理？→推理方法是否单一？→什么是归纳推理？→怎样进行归纳推理？→归纳推理的结果正确吗？→未必正确为什么要学习？→归纳推理的创造性.

这条主线既推动了学生思维的递进，又渗透着数学文化，揭示了数学来源于生活，又服务于生活的本质.

二、课堂教学的设计思路

新课程标准更加强调数学概念形成的背景；重视介绍数学知识发生发展的来龙去脉；注重运用数学语言描述数学现象；注重帮助学生体验数学在解决实际问题中的作用，拓展学生的视野，从而体会数学的应用价值.

基于上述原因，在本节课的课堂教学中，笔者尝试在各个教学环节渗透数学文化：

（一）在问题的情景创设中渗透数学文化，让学生运用数学语言描述数学现象，体会数学来源于生活；

（二）在追溯数学历史踪迹的过程中渗透数学文化，将数学史与数学教学有效结合，让学生体会数学在人类文明发展进程中的巨大作用，激发学生学习数学的热情和永攀科学高峰的雄心；

（三）在学生活动环节中渗透数学文化，让学生再次体会数学来源于生活，服务于生活，增强学生“用数学”的意识和能力.

三、教学过程的实施

（一）在问题的情景创设中渗透数学文化

本节课是章节起始课，笔者试图以三个贴近课堂的问题，让学生自然生成推理的概念，揭示出本章所学主要内容，让学生体会数学与生活的紧密联系.在对三个问题的比较中，了解推理方法的多样性，进而激发学生学习的热情.

问题1 今天来听课的老师很多，都是教学专家，第一次面对这么多专家上课，同学们能想象一下，王老师此刻的心情吗？

从学生的回答中，提炼出学生的思维过程，即：公开课，老师都会紧张，王老师是老师Þ王老师会紧张

问题2 王老师紧张，肖老师呢？

从学生的回答中，提炼出学生的思维过程，即：公开课，王老师紧张，王老师和肖老师都是老师Þ肖老师会紧张

问题3 王老师紧张，肖老师紧张，其他老师呢？

从学生的回答中，提炼出学生的思维过程，即：公开课，王老师紧张，肖老师紧张Þ老师都会紧张

回答三个问题后，让学生谈谈对推理的认识，教师从数学的角度给推理下定义，即：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.其中，已知命题是推理的前提，新命题是推理的结论.

结合以上3个推理案例，让学生比较它们的不同.

问题1是由所有老师紧张，得到一个老师紧张（演绎推理）；问题2是由一个老师紧张，得到另一个老师紧张（类比推理）；问题3是由个别老师紧张，得到所有老师紧张（归纳推理）.这些是推理的不同方法，为后续学习埋下伏笔，同时也很自然的进入本节课内容的学习.

（二）在追溯数学历史踪迹的过程中渗透数学文化

案例1 三角形的内角和是180°=(3-2) ×180°

凸四边形的内角和是360°=(4-2) ×180°

凸五边形的内角和是540°=(5-2) ×180°

…     

你有什么想法？

学生很容易得到：凸n边形的内角和是(n-2) ×180°

教师要分析学生思维过程，让学生感受归纳推理的方法

案例2  2+1=5，2+1=17，2+1=257，2+1=65537，都是质数.

你有什么想法？

根据以上4个等式，学生很容易想到2+1是质数.

这个猜想对吗？

学生叙述思维过程，教师引导学生对归纳推理的正确性进行思考，进而介绍费马猜想，包括介绍费马擅长研究数论，而数论是研究整数性质的数学分支.这就可以解释费马猜想不是凭空产生，而是他研究方向、研究习惯决定的.再由2+1，2+1，2+1，2+1是合数，产生新的猜想.通过此案例，将数学史融入教学内容中，体现数学文化价值，让学生感受“猜想→质疑→再猜想→…”的研究过程.

案例3 观察下列等式，你发现了什么规律，有何想法？

6=3+3，8=3+5，10=5+5，12=5+7，14=7+7，16=5+11，18=7+11，20=7+13，…

学生在总结规律的同时，教师注意暴露学生的思维过程，师生交流中，完善结论，让学生再次参与归纳推理的过程，进而介绍哥德巴赫猜想.与费马一样，哥德巴赫也擅长研究数论，因而从质数角度研究整数是他的研究习惯.很多数学家为验证哥德巴赫猜想的正确性，做出了大量的努力，但无人成功.目前最佳结果是中国数学家陈景润于1966年证明的“陈氏定理”.通过此案例，将数学发展中的重要人物与成果融入教学内容中，让学生感受数学家严谨的科学态度和锲而不舍的探索精神.

（三）在学生活动环节中渗透数学文化

    探究1 根据上述几个推理案例，请你说说它们的推理形式有怎样的共同特征？

引导学生在寻找形式上的特征时，挖掘出其对于数学本质的体现，并用数学语言描述.

探究2 根据上述几个推理案例，请你说说归纳推理的过程是怎样的？

突出抽象与概括的思维过程，将3个案例的前提分别抽象，并与结论进行比较，从而总结出归纳推理的一般思维模式为：S₁具有P，S₂具有P，…，Sn具有P（S₁，S₂，…，Sn是A类事物的对象），所以，A类事物具有P.

    探究3 你能结合生活中的经验，说几个归纳推理的例子吗？

引导学生用归纳推理的定义来判断所举例子是否为归纳推理，让学生学会“用定义”，并再次体会数学源于生活.

探究4 根据上述几个推理案例，或者结合生活经验，你认为归纳推理这种推理方式可靠性如何？该怎么办？

引导学生对归纳推理正确性的思考，大胆猜想，小心求证.

探究5 根据上述几个推理案例，结合生活经验，请你说说归纳推理有什么意义？

引导学生思考学习归纳推理的目的，以天王星的发现过程为例，说明归纳推理的创造性.通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题.像“瑞雪兆丰年”等农谚，是人们根据长期的实践经验归纳的结果.物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的.

回顾小结，

让学生在总结中加深对归纳过程的理解和感悟.

四、教学反思

美国著名数学史家、数学教育家克莱因（Morris·Kline）认为：“数学在人类文明中一直是一种主要的文化力量，数学是一种理性精神.”数学是人类精神文明的硕果，它不仅闪耀着人类智慧的光芒，而且它的发展也充分体现了人类为真理而生生不息、孜孜以求的精神.

因此，我们的数学课堂教学不仅要教知识技能，教方法技巧，还要教数学思考，要让数学文化融入到课堂教学中，让学生从文化层面进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学.